Concrete category

Concrete category 是用來描述該 category 的 object 與 function 可以直接對應 set 與 function。諸如 \mathbf{Grp} (the category of groups), \mathbf{Rng} (the category of rings), \mathbf{Top} (the category of topological space), 以及所有的 small category。然而, 並非所有的 large category 都是 concrete, 而其中包含比較重要的例子有 \mathbf{Toph}, 其 objects 為 pointed topological space 而 morphisms 為 homotopy classes, 由 Peter Freyd 於 1970 年提出證明Continue reading

Four Lemma

前面一篇 Splitting Lemma 中用到 Short Five Lemma, 而 Short Five Lemma (對於 i = 1, 3A_{i} \rightarrow B_{i} 為 isomorphism 時,  0 \rightarrow A_{1} \overset{f_1}{\rightarrow} A_{2} \overset{f_2}{\rightarrow} A_{3} \rightarrow 0 同構於 0 \rightarrow B_{1} \overset{g_1}{\rightarrow} B_{2} \overset{g_2}{\rightarrow} B_{3} \rightarrow 0) 其實是 Five Lemma (左右兩邊為一般的 module, 左上有一 epimorphism 對至左下, 右上有 monomorphism 對至右下, 其餘不變) 的特例。而欲證明 Five Lemma 其實用 Four Lemma (右上有 mono 對到右下) 加上其對偶得證, 也就是說, 只要證明 Four Lemma 就可以得到論述麻煩的 Five Lemma。 Continue reading

Splitting Lemma

嚇死我,差點證不出來。口語解讀是,如果我在 short exact sequence 中找得到一個反向的 morphism 促使正向的 morphism 是 left(or right) split 的話,那麼這串 sequence 就可以寫成前後兩個 module 的 direct sum。

Splittin Lemma. Let 0 \rightarrow A_{1} \overset{f}{\rightarrow} B \overset{g}{\rightarrow} A_{2} \rightarrow 0 be a short exact sequence of R-module homomorphism. The the following are equivalent.

  1. (Right split): There is an R-module homomorphism h : A_{2} \rightarrow B with gh = 1_{A_{2}} ,
  2. (Left split): There is an R-module homomorphism k : B \rightarrow A_{1} with kf = 1_{A_{1}} ,
  3. (Direct Sum): The given sequence is isomorphic to 0 \rightarrow A_{1} \rightarrow A_{1} \oplus A_{2} \rightarrow A_{2} \rightarrow 0, and thus B \cong A_{1} \oplus A_{2}. Continue reading