關於分析上的直接證明 …

之前一直以為 “\forall r~\epsilon(\epsilon > 0 \Rightarrow |r| < \epsilon) \Rightarrow r = 0” 是用反證法得來的,最近想想其實不是,但首先必須先說明實數(或有理數)是滿足三一律即 x > 0, x = 0, 或 x < 0 只能是這三者之一。

而既然 |r| 根據定義只有 | r | = 0|r| > 0 兩種情況,假設 |r| > 0\forall \epsilon > 0{} \Rightarrow ( |r| < \epsilon),那根據條件取 \epsilon = |r| 會得到 | r | <\epsilon = |r|,也就是 |r| < |r| 但已知 \forall x (x = x),根據三一律此情況不可能。故只剩 |r| = 0 的情況,但 \forall \epsilon (\epsilon > 0 \Rightarrow 0 < \epsilon)  則是明顯成立的,因此在這個假設下,我們的確能推論到 r = 0

至於 \epsilon 弱化成只對 1/n 也是有效的,只是變成證明 \forall a~b~(\forall n~an < b)~\Rightarrow a = 0,這邊 a, b, n 都是正整數,取 n = b + 1 就會有 b+1 < a(b+1) < b 此情況不會發生。

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