數學符號的使用

幾年前曾經特地撰文說明「well-defined(良好定義)」的意思,試圖說明數學符號使用上的為了方便性,而捨去精准度的情況。前些日子在 ptt (台灣僅存不多的 BBS 討論群組)的數學討論區中,有關於多項式函數的極限證明疑問(見此),個人認為是多項式以及由多項式定義的函數兩者混淆了,經由 Josh 提點或許可作為乾枯 blog 的水源,於是由 Josh 幫忙審稿在一個多小時內,發文解釋定義函數的符號以及函數之間的關係(見此,但過於專心在細節而忽略主要脈絡),隨後不久台灣數學家法蘭克也在他的 blog 上解釋這個問題(見此)。原本想簡單地總結前幾篇的關係,但沒有清楚的脈絡呈現,加上前幾篇技術說明也足夠了,也就暫且擱著。


原本問題關於「多項式」本身的嚴謹定義跟性質包括如何設計「取值」,在大學或研究所的代數教科書中大多會提及。但主要的問題是:符號使用的精確度隨著預設讀者的理解能力以及情境不同。曾經抱怨數學教育中,沒有把「良好定義」解釋清楚,而實際問題多出在錯把符號本身毫無條件的對應到數學物件,舉例來說

有理數都能寫作 p/q 其中 p, q 為整數且 q 不為零

而其中 p/q 應當讀作一由 p/q 表示的有理數,而非有理數本身。同一個有理數,存在著無限多個可能地表示方法,只要當 p'q = pq' 我們認定 p/q 相等於 p' / q'。這裡另外需要注意的是,p'q = pq' 代表著「整數」上的相等,而後者代表著「有理數」上的相等。

在集合論的體系下,用 p'q = pq' 來定義整數上的等價關係考慮由等價類構成的集合即有理數的集合。也因此,用表示法來定義函數時,必須尊重有理數的等式,而不能單純依靠某個表示法,而這一步的確認稱為 well-defindness 確保每個同樣的表示法,都有相同的對應。然而,數學框架語言並非只有集合論——距今發展才近百年,這之間許多人提出不同的架構體系,用等價類方式解釋只能在集合論的框架下說明。

比較一般的想法是體認到數學語言本身是全然的人造物近似於哲學的產物,語言規則更接近於棋類遊戲的規則,在約定的操作下發展,而所有符號呈現僅是理想上語言的表達(有理型論的影子 ),本身並沒有精確性:因為語法只有符不符合規則,或者說正確與否(不大喜歡用正確兩字,有真理——無法驗證的概念——的意思)。然而,完全形式化的符號在溝通上並不能有效率的溝通,用寫程式來舉例,這相當於不用任何補助工具下,撰寫完全正確的電腦程式,這必須花費相當的精神注意所有的細節。所以,通常會省去不重要的細節或是預設目標讀者應該俱備的理解能力,盡可能傳達想要說明的概念,達到更有效率的溝通。而許多數學教科書解讀的爭議上,有賴於教師教學上的提點釐清,雖然一般書籍在開頭會解釋預設讀者以及背景知識,但許多基礎表達的問題,還是得經過他人說明所謂「符號」與「意義」間的非理性聯繫。*

因此,當我們清楚理解符號的使用在於理解「目標物」時,應能夠避免過度討論意義不清的符號,例如曾經吵吵鬧鬧一陣子的新聞30÷2(2+3)÷5是多少? 計算機答案不同實則是沒有依照規則清楚表達的爭執,當然這也涉及規則設計的完備程度,同一組符號不應該產生不同的解讀但合理的解讀方式。另外也應能接受數學傳統書寫比較隨性,捨去完全精確語言,專注在討論對象。

* 之所以是「非理性」是因為沒辦法在符號內推得意義的存在,就像是我們沒辦法僅憑著字典理解「紅色」的意義除非由感官認知。

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