Well-definedness

脫稿好久,而且還不是本來預定要寫的東西,只是最近即便是這簡單的例子,也發現把事情講清楚的重要性。

給定一個等價類 \equiv,事實上這個 relation 的性質跟等式一樣,因此作 quotient set 的意義實際上是替代原本的等式,換成這個 relation,所以就有 [a] = [b] 若且唯若 a \equiv b 這件事情。實際上構造也很簡單,就是定義 [a] = \{ x \in X : a \equiv x \}.

接下來的問題是,我們要怎麼在 quotient set 上定義函數呢?事實上就跟一般函數的定義方式一樣,取 C \in X/\equiv 指定對應的對象就好了。但是既然 quotient set 可以寫成 \{ [a] \subseteq X : a \in X \},我們是不是能根據 a 來定義呢?可以的,但是數學教科書都會寫,必須是良好定義的,也就是若 [a] = [b],那麼 f([a]) = f([b]),白話來講,原本被看作一樣的東西,對應過去也是要一樣的。

那為甚麼在一般的集合上定義不需要呢?若是根據 [a]a 表示來定義,事實上我們定義的是一個從原本集合 X 為定義域的函數,而不是 X/\equiv 這個新的集合,而為了要說這個函數可以沿用到 X/\equiv 上,我們自然必須檢查是否還是個集合。

若是用範疇論的語言來解釋的話,考慮 \equiv \overset{\pi_1, \pi_2}{\longrightarrow} X 其中箭頭代表兩個投影函數 (x, y) 分別對應成 xy 的投影而已,那麼 quotient set 事實上是該 diagram 的 coequalizer ,那麼定義 f : X \rightarrow Y  用表示來定義的函數,若是對所有 (x, y) \in R 都滿足 f(x) = f(y) 的話,那麼自然從 coequalizer 會有一個唯一的映射到 Y,而那就是 quotient set 上的函數。

用箭頭語言講的好處是,我們清楚知道是哪些物件在作用,每個步驟都是 diagram 裡的一部分,但是我們又不限定多餘的東西:誰說 quotient set 一定要是 \{[a] \subseteq X : a \in X\}呢?因為與 quotient set 相等的集合有很多,只要有一對一且映成的函數連結起來就夠了。

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