關於分析上的直接證明 …

之前一直以為 “\forall r~\epsilon(\epsilon > 0 \Rightarrow |r| < \epsilon) \Rightarrow r = 0” 是用反證法得來的,最近想想其實不是,但首先必須先說明實數(或有理數)是滿足三一律即 x > 0, x = 0, 或 x < 0 只能是這三者之一。

而既然 |r| 根據定義只有 | r | = 0|r| > 0 兩種情況,假設 |r| > 0\forall \epsilon > 0{} \Rightarrow ( |r| < \epsilon),那根據條件取 \epsilon = |r| 會得到 | r | <\epsilon = |r|,也就是 |r| < |r| 但已知 \forall x (x = x),根據三一律此情況不可能。故只剩 |r| = 0 的情況,但 \forall \epsilon (\epsilon > 0 \Rightarrow 0 < \epsilon)  則是明顯成立的,因此在這個假設下,我們的確能推論到 r = 0

至於 \epsilon 弱化成只對 1/n 也是有效的,只是變成證明 \forall a~b~(\forall n~an < b)~\Rightarrow a = 0,這邊 a, b, n 都是正整數,取 n = b + 1 就會有 b+1 < a(b+1) < b 此情況不會發生。

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5 thoughts on “關於分析上的直接證明 …

  1. 其實有一點我還沒想通:pattern matching 時「匹配 ()」在 ITT 裡對應的是 N_0 的 elimination rule,那「因為不可能而可以省略 cases」對應的是什麼呢?

  2. 與其說省略,倒不如說因為 ⊥ ,所以可以任意推到任何結論。因此對這個 case 也是成立的 (absurdity),所以推論形式變成說,因為在 x 不為 0 的時候推到 ⊥,所以 x = 0 為真,而 x 為 0 的時候我們也有 0 = 0 的證明,因此對所有的 x 該述句都都成立,才有 \forall x P(x) 為真。

    但通常寫證明的時候,我會說這幾個 case 不會發生,只考慮可能的情況,是因為如果全部的情況都不可能,推到什麼結論都沒意義 Q”Q

  3. 路過

    >根據三一律此情況不可能

    這不是還是反證嗎?
    始終「r是實數」也是一個前提,由此

    r是實數、且|r|>0、且 |r| 小於任何正實數
    => r不符合三一律
    => r不是實數

    就是一個Contradiction,還是用上了Law of non-contradiction…

  4. 要把 RAA : \neg \neg P \rightarrow P \equiv ((P \rightarrow \bot) \rightarrow \bot) \rightarrow P\bot \rightarrow P 分開。
    反證法指的是以 RAA 為基礎的證明,而另外一種同時有 \neg PP 可以推論出任何的述句。

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