Convergence of integration of sinx/x

試證明 \displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{\sin{}(x)}{x} dx 收斂。突然想到這個問題,以前遇過印象深刻,是因為大學的時候曾經因為這個吵過架 …

第一個先看到的是,該績分不為 Lebesgue 可積。因為對所有的 Lebesgue 可積函數 f 其絕對值 | f | 也必定 Lebesgue 可積,但 \int_{0}^{\infty} |\frac{\sin{}(x)}{x}| dx 不收斂。因此考慮其黎曼瑕積分。將積分範圍切成 {(}0, 1{]} , {[}1, \infty{)}

  1. 對於 \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sin{}(x)}{x}  dx 因為在該區域內函數有界且連續,故積分收斂。
  2. 對於 \displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{\sin{}(x)}{x}  dx, 則是考慮 Dirichlet’s test, 因為 \frac{1}{x} \rightarrow 0 且單調遞減, 而 | \int_{1}^{\infty} \sin{}(x) | dx \leq 2 得到 \int_{1}^{\infty} \frac{\sin{}(x)}{x}  dx 收斂。

然而,這收斂可以考慮另外一種方式,令 \displaystyle A_{n} = \int_{n\pi}^{(n+1) \pi} \frac{\sin{}(x)}{x} dx, 由 \sin(x) 的性質得知 A_{n} 是交錯數列且遞減,故其無窮級數收斂。

又令 c(k) 滿足 k \in {[}c(k) \pi , (c(k)+1) \pi )

  • 對於 k 滿足 \sin{}(k) \geq 0 具有 \displaystyle \sum_{n=0}^{c(k)} A_{n} \leq \int_{0}^{k} \frac{\sin{}(x)}{x} dx \leq \sum_{n=0}^{c(k)+1} A_{n}
  • 對於 k 滿足 \sin{}(k) < 0 具有 \displaystyle \sum_{n=0}^{c(k) + 1} A_{n} \leq \int_{0}^{k} \frac{\sin{}(x)}{x} dx \leq \sum_{n=0}^{c(k)} A_{n}

兩邊取極限之後夾擊得到暇積分收斂。

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