Concrete category

Concrete category 是用來描述該 category 的 object 與 function 可以直接對應 set 與 function。諸如 \mathbf{Grp} (the category of groups), \mathbf{Rng} (the category of rings), \mathbf{Top} (the category of topological space), 以及所有的 small category。然而, 並非所有的 large category 都是 concrete, 而其中包含比較重要的例子有 \mathbf{Toph}, 其 objects 為 pointed topological space 而 morphisms 為 homotopy classes, 由 Peter Freyd 於 1970 年提出證明

在 Algebra, by Hungerford 中的定義是若 category \mathbf{C} 具備一函數 \sigma : A \mapsto \sigma{}(A) 其中 A 為 \mathbf{C} 上之 object 而 \sigma{}(A) 為一集合。滿足以下條件:

  1. 對所有 morphism f : A \rightarrow B 其實是 f' : \sigma{}(A) \rightarrow \sigma{}(B).
  2. identity morphism 對應其集合上的 ideneity function
  3. morphism composition 對應其集合上的 function composition

因此對於 \mathbf{Grp}, 則可以很自然地將一群 (G, +) 對應至其集合, 諸如此類。

對於比較精簡的說法, 則是定義 concrete category \mathbf{C} 為具備 faithful functor \mathbf{U} : C \rightarrow \mathbf{Set} 的範疇。而 faithful 要求了 \mathbf{C} 上的 morphism 必須唯一送到 \mathbf{Set}, 也就是 morphsim 映射至 function。而 functor 則要求了其餘幾點。

對於 full 跟 faithful 講得更仔細點是,給定 functor F 於任何 locally small category \mathbf{C} 上的任何 objects X, Y, 我們有 F_{X, Y} : \mathbf{Hom}(X, Y) \rightarrow \mathbf{Hom}(F(X), F(Y))。如果我們有:

  1. F_{X, Y} 是 injective, 則 F 稱為 faithful;
  2. F_{X, Y} 是 surjective, 則 F 稱為 full;
  3. F_{X, Y} 是 bijective, 則 F 稱為 fully faithful.
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