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關於分析上的直接證明 …

三月 16, 2009 · 5個回應

之前一直以為 “\forall r~\epsilon(\epsilon > 0 \Rightarrow |r| < \epsilon) \Rightarrow r = 0” 是用反證法得來的，最近想想其實不是，但首先必須先說明實數(或有理數)是滿足三一律即 x > 0, x = 0, 或 x < 0 只能是這三者之一。

而既然 |r| 根據定義只有 | r | = 0 跟 |r| > 0 兩種情況，假設 |r| > 0 且 \forall \epsilon > 0{} \Rightarrow ( |r| < \epsilon)，那根據條件取 \epsilon = |r| 會得到 | r | <\epsilon = |r|，也就是 |r| < |r| 但已知 \forall x (x = x)，根據三一律此情況不可能。故只剩 |r| = 0 的情況，但 \forall \epsilon (\epsilon > 0 \Rightarrow 0 < \epsilon)  則是明顯成立的，因此在這個假設下，我們的確能推論到 r = 0。

至於 \epsilon 弱化成只對 1/n 也是有效的，只是變成證明 \forall a~b~(\forall n~an < b)~\Rightarrow a = 0，這邊 a, b, n 都是正整數，取 n = b + 1 就會有 b+1 < a(b+1) < b 此情況不會發生。

類別： 閒聊
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