Knaster-Tarski theorem is a simple but powerful fixpoint theorem in order theory. It could give a very elegant proof of Cantor–Bernstein–Schroeder theorem which states that if there are injections and , there exists a bijection between A and B.

Theorem. Let L be a complete lattice and f be a order-preserving morphism from L to L. The sup (join) of the set is the greast fixpoint of f.

Proof. Let . Consider , we have for all , and thus which means that is an upper bound of , i.e. . However, since , we also have which satisfies the predicate of . Hence, and by definition. Finally, we thus have and , so .

The part of greatestness is obvious.

Now, we could simplify the proof of Cantor–Bernstein–Schroeder between sets by explicitly defining the construction of sequence of sets as a function from . However, we also generalise the process than we need.

Theorem. Given two functions and . There are disjoint sets and with and and , .

Proof. Consider which may give a hint that works if it is order-preserving. However, it is obvious that as , . By applying Knaster-Tarski theorem, we have a fixpoint with the desired properties.

Finally, with the help of the above fact we could decompose the domain and codomains of injections and , and thus we have two bijections and where , , , and . Then, define which is obviously bijective. Done.

離開台灣即將兩個禮拜，好像沒什麼不一樣，但一切都已經改變了我曉得。對著鏡頭看到的畫面，可能是一年後才有機會再觸摸的，而在這邊的一切，則是我一直追求的另外一半。

雖然待的科系是 Computer Science，但是主題其實很數學很邏輯，正在看得論文是有關於近代 Stone duality 的發展，人們試圖從古典的結果，推廣到近代新的工具上面一旦完成，就會有個統一的理論串起所有古典定理的變形。並且能夠模組化地取得須要的邏輯系統。使用的工具基本上是近三四十年來發展的東西，Category theory 以及數學上經典的工具：代數以及拓樸。我光是在看這之間的函子跟範疇間對偶來對偶去的，就快要昏頭了。

不過很美的是，空間跟代數結構兩者之間，竟然在範疇論的意義下互為對偶相等。

我好像要接觸這領域稍嫌年輕而且學得還不夠，但在這種動力之下，好像什麼都學得特別快，洗個澡就順便畫出 adjunction 了。站著似乎血液循環比較好。希望速度夠快能夠讓我有些進度。

Ph.D at University of Birmingham 申請上了，領域是 theoretical computer science 中的 coalgebraic logic，有獎學金大概夠活還能存一點錢。希望能夠順利畢業，做出東西來。申請的過程，不知該說順利還是不順利，三月底決定今年出去，中間不到一個月準備 IELTS 考完試中間還準備了申請 Oxford 的資料(4/15截止)，考完之後也只剩下兩個多禮拜整理資料，連間代辦都沒找，就這樣莽莽撞撞地申請。申請四間學校中，有兩間其實已經過期限，Oxford 慘到推薦信到了四月底才寄到，結果對方就說沒獎學金了，帶可以面試看看；另外一間則是面試前準備不周，拿到了錄取卻沒有獎學金，只好忍痛放棄。其他一間也是沒錢被拒絕，還有一間也是沒錢但是仍掛在上面。

結束這四間之後，考慮了一下決定把手上的問題再繼續推進看看，結果做一做發現是有一部分是數學分析問題，評估一下時間跟資源，要有所進展得花比較久的時間。恰好有教授轉寄資訊給我，Birmingham 正在找 Ph.D 過去。但一開始看到 EU/UK applicants only 的時候幾乎是萬念俱灰，硬著頭皮問問看，拿到計畫的內容看了一下，發現整個研究計畫得重寫才行。

又恰好，該教授又離開系上，大約有一個月的時間才會回來，趁這時候把該看的論文跟資料很快的看過，還找了相關的介紹性文章寫完習題，用 寫了7頁的研究計畫，很幸運地拿到錄取。而獎學金的部份，也剛好有上次電話面試的經驗，以及剛好人在北京，有些比較充裕的時間，針對面試可能的題目練習了幾天。

結束面試之後，原本以為很快就會答覆，因為他在 skype 中說這兩天就會決定，但一直都沒有下文，焦慮到半夜三點坐在中研院行政大樓旁的馬路，不斷地檢查信箱。隔天一早，寫了一封信給教授，我想態度應該是不亢不卑地表達意願，晚上就很順利地拿到獎學金通知了。

有一種註定要去 Birmingham 的感覺，前面的經驗促成這次的申請契機，並且有經驗跟膽量知道該怎麼應對寫信。第一次寫信給 Nottingham 的時候弄了一個晚上，擔心對方不回應，結果一直都沒回信。所以接下來都是十分鐘簡短地寫兩段，對方也很快就回應了。

嘛，這就是人生吧。

接下來把該補背景知識趕快補起來，一邊推進論文的進度，看我在計畫中想的能不能實現。而且要準備申請國內的乙類留學獎學金，衝啊。

之前聽台北愛樂，很討厭他們的廣告，轉去聽 BBC radio 3，結果今天中午不知道怎樣連不上，一直回報我的頻寬不夠；連院內的 NAXOS 資料庫也只限定某兩個所才能用，極其絕望之下想到還有 KKBox ，試聽 30 秒之後就把信用卡拿出來結帳刷了一個月。曲子雖然不完整，但是選擇的範圍還頗大的，討厭 DRM 還是買來用了 …

塑膠貨幣真是害人不淺 … 囧。

這邊捷運叫做地鐵（其實大部份的地方也都叫 subway），從路線圖來看目前總共有 123 個站包括重複的轉運站，在四環（以故宮天安門為中心的環狀道路）以內，配合公交車（公車）大概沒什麼地方去不了。2015 年的規劃圖來看的話，大概喊得出名字的地方以後都去得了。另外，從首都國際機場內，就有機場地鐵直達其中十號線的三元橋站跟二號線東直門站，再轉車出去還滿方便的。除了等車的時間較長，但是速度大概是最快的一個。

費用的話，地鐵不限距離，統一價 2RMB；機場地鐵則是 25RMB；公交車投現 1RMB，用一卡通則是0.4RMB，依照路線不同售價不大一樣。北京的物價跟台北差不了多少，但是換算成台幣來看，便宜的很。使用率頗高，每次去大概都擠滿滿的。計程車起價 10RMB，比台灣便宜滿多的，路上也很好招到。

在這邊雖然汽車很多，但我發現這邊沒有機車，只有電動腳踏車，就是可以充電也可以用腳踩發電的，沒有廢氣問題。在市中心部份的公交車，是用電纜驅動，也沒有廢氣……..。實際上在北京的街頭感覺空氣比台北好很多，查資料才寫以前受空氣污染影響很大，現在做得倒挺好的。台北市街頭的空氣品質則是不敢領教 ……

我只能說，台灣要多加油 …

下午剛結束在北京輕學大學的暑期課程之旅，來之前記得最原始 Coq Summer School，但後來叫做 Asian-Pacific Summer School on Formal Methods，顧名思義以正規方法來處理軟體的問題為主，講師們都從法國 INRIA 來。題材前半段集中在 Coq 本身，以及相關的題材，像是 dependent type, inductive type, coinductive type, Curry-Howard isomorphism。後半段則是以互動式定理證明跟自動證明器應用在程式語言的檢驗，像是 why tool , frama-C 能夠用來處理 Objective ML, 甚至是 Java, C 語言的正確性。最後則是說明將來還有哪些問題要處理的。總共 8.5 天，其中一天結束 Coq 的材料，去清華校園隔壁的頤和園逛逛。

整體來說，相當驚人的暑期課程。先從費用來看，學生是 100 人民幣包含了住宿，三餐（儲值80元的餐卡），課本 Coq’Art中文版，Coq Live USB（2GB的USB隨身碟上裝好 Ubuntu 跟 Coq ），一件衣服，完整的 INRIA 師資群。算下來，實際上得到的比 100 還要多很多。

課程方面相當緊湊扎實，我不曉得到底有沒有預設背景知識，但是作業從 functional programming 到定理證明以及用 Hoare logic 描述 insertion sort 並用證明器證明，作業非常多。好在講師全程參與，所以上機實做的課程，敢問都能夠得到不錯的回應。純上課的話，我個人習慣自己念，常常上到打瞌睡就是了，下午實做精神就好多了 … orz.

參加的同學以中國各地為主，有好一些人都是教授老師等級，中科院的來了不少，還有的是教授帶著自己的學生一起來上課，學習相當勤奮啊。另外有三個韓國人，不過沒有聊過，不曉得來歷如何，但是光看外表我想也差不多是教授級了吧 …；台灣來的好像只有我這麼一個，還好都很好相處，比台灣人還熱情（大概跟台灣人對外國人一樣熱情了 …），第二天晚上就有伴了。一直以為自己的社交工程不及格，不過看起來還可以。

語言方面問題比較大，習慣英式美式標準腔調，法國人的腔調不適應，一開始不好進入狀況。原本以為是英文退步，但最後在講 smart card 的應用時，講師的口音比較標準，邊寫程式邊聽都沒問題，顯然是腔調無法適應。這點跟中國學生聊天的時候也一樣，一來用語不大一樣腔調各異，常常也是有聽沒有懂，要一直講才比較好。（但是換個人聊又聽不大懂了 …）

不過教學設備上，個人對於投影機直接投在白色牆面上有些感冒，色彩失真不說，反射面的效果頗差，其實看得不是很清楚，再加上後期到大教室上課，可視角度不變，但是前後距離變遠，反而看得不是很清楚，如果要用電腦坐在兩旁或是後面，或者試用到白板解說，… 位置角度不好完全看不到。

課程本身的規劃設計不錯，連貫性很好，沒有評分壓力比較小，比較能夠享受上課以及解問題的樂趣。但教學方面，如果有以中文為主的助教幫忙學習上的問題，可能會更好，我看滿多人有問題不敢問，相當可惜。中間應該在穿插一整天的休息，有不少人連上了六七天，最後就蹺課去溜達玩玩去了。到後面我也有點疲憊了，每天的作息就是七點多起床，吃早餐，去上課，中午吃飯休息，下午上機寫習題，晚上吃晚餐，回去想下午的問題，然後睡覺，再加上來之前沒日沒夜的趕申請學校的 research proposal ，一連好幾天下來有點疲乏。

最後徵博士生做的問題，不巧都沒啥興趣，一開始看的是 SSReflect 要作 simple group 的分類問題的正規證明，剛好不在這次的徵選範圍之內，再加上 Coq 的語法讓我很痛苦（跟 Agda 比較起來），暫時打消問細節的意願。另外就是 Coq 上發展一套給 rewriting system 驗證 termination proofs 的 library，給其他的 prover 作為基礎。看起來是比較有意思的，跟其中的研究員討論一下留個名片之後，還在看看細節中。

題外話，總覺得應該印個名片一下 …我到這邊來交換個人資料的場合挺多的，每次都寫給別人真怕哪邊寫錯就聯絡不到了 囧。

正在看 Coq’Art 最後的 Infinite Objects and Proofs，順便玩一下 coinductive type 到底在 Coq 跟 Agda 這種基於 constructive type theory 的語言到底是怎麼回事，用 Agda 內建的  Data.Conat 寫下了幾個證明。先定義 bisimilar relation：

data _≈_ : (n m : Coℕ) → Set where
zero : zero ≈ zero
suc : ∀ {n m} (p : ∞ (♭ n ≈ ♭ m)) → suc n ≈ suc m

很直觀的定義沒什麼好說的。

∞+∞ : ∞ℕ + ∞ℕ ≈ ∞ℕ
∞+∞ = suc (♯ ∞+∞)

∞ℕ 的定義在 stdlib 裡頭，其實很簡單，就是用 suc 一直串下去。然後我們也可以定義有序關係，就像這樣：

data _≤_ : (n m : Coℕ) → Set where
z≤n : ∀ {n} → zero ≤ n
s≤s : ∀ {n m} → (∞ (♭ n ≤ ♭ m)) → suc n ≤ suc m

在 Coq 底下要用 Cofix 來定義，但是 Agda 底下把 codata 包裝起來，用♯ 跟♭來互相轉成 inductive type 跟 coinductive type，不過這邊的關係我還不是很理解。接下來，既然可以描述自然數的無限大，那我們也可以證明無限大大於等於所有的自然數

n≤∞ : ∀ n → n ≤ ∞ℕ
n≤∞ zero = z≤n
n≤∞ (suc n) = s≤s (♯ n≤∞ (♭ n))

那麼無限大是否小於無限大呢？按照這個定義事實上是的。小於其實定義為

_<_ : ∀ n m → Set
_<_ n m = suc (♯ n) ≤ m

也就是說，若 則 。但是因為無限大定義為 ，那麼 仍然是 （在 bisimilar 的意義下），所以證明就只是

∞<∞ : ∞ℕ < ∞ℕ
∞<∞ = s≤s (♯ refl′)

其中 refl′ 是證明該有序關係是 reflexive 的。不過雖然 conductive type 處理 infinite object 看起來很威，但是遇到實際上是有限的資料，可就威不起來了 …

lem₁ : fromℕ 3 + fromℕ 4 ≈ fromℕ 7
lem₁ = suc (♯ suc (♯ suc (♯ refl)))

這是一個 3 + 4 = 7 的證明，在 inductive 的情況下，可以直接根據 reduction rule 算出 3 + 4 等於 7，進而簡化命題成為 7 = 7，直接就可以證明。但在 coinductive  下，要維持 strongly normalizing property，必須有限制地展開，所以像是 fromℕ 2 只會展開成 suc (fromℕ 1) 而不是 suc (♯ suc (♯ zero)) 。所以證明就是把 fromℕ 3 一直展開，一直得到 0 + fromℕ 4 ≈ fromℕ 4 為止，在 Coq 底下應該還要再使加法的部份再展開一次，但在 Agda 因為是包在 inductive type 裡頭，就直接把 0 + x 展開為 x 了。我需要再練習一下 coinductive，邊看 modal logic 邊寫起來好了 :p

反證法是指用 RAA, 或是證明否逆命命題, 或是排中律證明的。而用 law of contradiction 並不是反證法，因為在構造式證明中， Law of contradiction 是成立的，而 RAA 則是構造式證明中唯一被拿掉的公設。證明如下：

對於 Law of contradiction，我們可以用 conjunction elimination, implication 推出來，不需要其他的條件：
0. by assumption
1. , by conjunction elimination from 0.
2. , by conjunction elimination from 0.
3. , by modus ponens from 1. 2.
4. , by conditional proof discharging (1)

而另外一種反證法的形式，講的是 ，跟 RAA 是 tautology，先證明 RAA 這邊開始：

0. , by assumption
1. , by assumption
2. , by assumption
3. , by modus ponens from 0. 1.
4. , by modus ponens from 2. 3.
5. , by discharging 0. and 4.
6. , by RAA from 5.
7. , by discharging from 2. and 5.
8. , by discharging from 1. and 7.

再來是這個否逆命題推回 RAA：
0. , by assumption
1. , by assumption
2. , by discharging 0. and 1.
3. , by 否逆命題
4. , by MP from 0. 3.
5. , by discharging 1. 4.
（0. 1. 應該分別假設兩次, 再各自消掉就是了）

所以在 meta-language 的層次上證明，RAA 與「否逆命題與原命題等價」是等價的，另外 RAA 又比排中律弱，可以從排中律推到 RAA，但反過來卻不行。（排中律有多強啊 … 錯了，請看下面的回覆 orz