Well-definedness

脫稿好久，而且還不是本來預定要寫的東西，只是最近即便是這簡單的例子，也發現把事情講清楚的重要性。

給定一個等價類 $\equiv$ ，事實上這個 relation 的性質跟等式一樣，因此作 quotient set 的意義實際上是替代原本的等式，換成這個 relation，所以就有 $[a] = [b]$ 若且唯若 $a \equiv b$ 這件事情。實際上構造也很簡單，就是定義 $[a] = \{ x \in X : a \equiv x \}$ .

接下來的問題是，我們要怎麼在 quotient set 上定義函數呢？事實上就跟一般函數的定義方式一樣，取 $C \in X/\equiv$ 指定對應的對象就好了。但是既然 quotient set 可以寫成 $\{ [a] \subseteq X : a \in X \}$ ，我們是不是能根據 $a$ 來定義呢？可以的，但是數學教科書都會寫，必須是良好定義的，也就是若 $[a] = [b]$ ，那麼 $f([a]) = f([b])$ ，白話來講，原本被看作一樣的東西，對應過去也是要一樣的。

那為甚麼在一般的集合上定義不需要呢？若是根據 $[a]$ 的 $a$ 表示來定義，事實上我們定義的是一個從原本集合 $X$ 為定義域的函數，而不是 $X/\equiv$ 這個新的集合，而為了要說這個函數可以沿用到 $X/\equiv$ 上，我們自然必須檢查是否還是個集合。

若是用範疇論的語言來解釋的話，考慮 $\equiv \overset{\pi_1, \pi_2}{\longrightarrow} X$ 其中箭頭代表兩個投影函數 $(x, y)$ 分別對應成 $x$ 和 $y$ 的投影而已，那麼 quotient set 事實上是該 diagram 的 coequalizer ，那麼定義 $f : X \rightarrow Y$ 用表示來定義的函數，若是對所有 $(x, y) \in R$ 都滿足 $f(x) = f(y)$ 的話，那麼自然從 coequalizer 會有一個唯一的映射到 $Y$ ，而那就是 quotient set 上的函數。

用箭頭語言講的好處是，我們清楚知道是哪些物件在作用，每個步驟都是 diagram 裡的一部分，但是我們又不限定多餘的東西：誰說 quotient set 一定要是 $\{[a] \subseteq X : a \in X\}$ 呢？因為與 quotient set 相等的集合有很多，只要有一對一且映成的函數連結起來就夠了。

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